Множества


1. Определение и примеры

Редкое определение играет в математике столь же большую роль, что и определение множества. Собственно, поэтому так важно понять его и уловить его суть сразу, в самом начале. В этой статье я попытаюсь дать неискушённому читателю представление о множествах в высшей математике, их свойствах и применениях.

В формальной математике множество — обычно аксиоматическое понятие, и у него нет определения как такового. И его действительно сложно дать — ведь под множеством мы подразумеваем любой набор любых объектов. Этот набор может быть пустым, конечным или бесконечным; он может содержать натуральные, вещественные числа, матрицы, целые последовательности, мыслимые как самостоятельные объекты, или даже другие множества, такие, как отрезки и лучи вещественной прямой (или даже вся вещественная прямая), а также стулья, столы, вилки, яблоки, торшеры, турнюры и так далее. Притом не налагается абсолютно никаких ограничений на однородность объектов, содержащихся в множестве — одно множество может содержать одновременно как числа, так и, например, другие множества. Объекты в множестве также по умолчанию никак не упорядочены (если не указано обратное, смотри далее про упорядоченные множества). Кстати, объекты, содержащиеся в множестве, обычно называются его элементами.

Основоположник теории множеств, великий немецкий математик Георг Кантор говорил, что множество – это многое, мыслимое как единое.

Однако некоторые ограничения при конструировании всевозможных множеств всё-таки есть. Необходимость в введении таких ограничений явно показывает, например, парадокс Рассела. Он звучит так:

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Вопрос: содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — получаем противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K; вновь получаем противоречие.

Логический парадокс, возникший здесь, связан в том числе с использованием такой конструкции, как «множество всех множеств, таких, что …» и «множество, содержащее себя в качестве элемента». Такие множества невозможно себе представить, и невозможно сконструировать какими-либо разумными и последовательными путями. Чтобы избежать возникновения таких вот парадоксов, математики вот уже добрую сотню лет пытаются формализовать понятие множества, усложняя и усложняя теорию Кантора. Но это очень специфичная область; нам же достаточно лишь знать, что без формулировок типа «множество всех множеств» и «множество, содержащее себя» в наших выкладках всё будет хорошо.

Студенты, изучающие всевозможные курсы высшей математики и математического анализа, большую часть времени будут сталкиваться с частными случаями множеств — числовыми множествами, то есть множествами, элементами которых являются исключительно вещественные числа. Например, все вещественные числа образуют множество, которые мы привыкли называть вещественной прямой и обозначать значком ℝ. Также мы уже знаем о таких числовых множествах, как отрезок [a,b] — множество всех вещественных чисел x, удовлетворяющих неравенству a≤ x≤ b, и интервал (a,b) — множество всех вещественных чисел x, удовлетворяющих неравенству a< x<b. Кстати, давайте разберёмся с обозначениями. Последние два примера множеств можно записать в следующем, общепринятом для описания множеств виде:
[a, b] = {x∈ℝ: a≤ x≤ b} ,
(a, b) = {x∈ℝ: a<x<b} .

То есть такое описание множества состоит из двух частей: определения, какого рода элементы оно содержит, и условия (или нескольких), которому должен удовлетворять элемент, чтобы в нём содержаться. Например, в последней формуле выражением x∈ℝ мы обозначили, что наше множество содержит только вещественные числа, а условием a<x<b сузили «круг подозреваемых» до элементов интервала (a,b). Можно придумать и более экзотические примеры. Например,
A = {x∈ℝ: x^2+x−2=0}
— это множество всех вещественных корней уравнения x^2+x−2=0. Кстати, мы ведь знаем эти корни — это 1 и −2. Так давайте тогда запишем множество A проще:
A = {1, −2} .

Здесь мы сконструировали множество простым перечислением всех входящих в него элементов. При таком способе построения множество записывается просто как фигурные скобки с выписанными внутри них в любом порядке элементами множества.

Причём так можно записывать и бесконечные множества. Например, множество натуральных чисел:
ℕ = {1, 2, 3, …, n, n+1, …} .

Отдельно обращу внимание на то, что элементы во множествах не могут повторяться. То есть если у нас есть некий элемент x и множество A, то мы можем лишь сказать, что x принадлежит множеству A (это записывается как x∈ A) либо не принадлежит множеству A (это записывается как x\notin 
A), но не можем и не имеем права сказать, сколько раз он содержится в A. Но если мы вдруг запишем множество A={x, x}, то ничего страшного не случится и запись не будет ошибочной — просто она будет значить то же самое, что и A={x}.

2. Сравнение множеств

Есть несколько способов сравнить два данных нам множества A и B. Множество A называется подмножеством множества B (или говорят, что A вложено в множество B), если все элементы A содержатся в B. То есть множество B «шире» множества A и полностью его покрывает. Такое взаимоотношение множеств обозначается как A⊂ B или A⊆ B. Соответственно, симметричные значки ⊃ и ⊇ означали бы, что B является подмножеством A. (Тут присутствует полная аналогия со знаками <, ≤, >, ≥.)

В некоторых книжках различают ещё понятие строгой вложенности: множество A называется собственным подмножеством множества B, или говорят, что A строго вложено в множество B, если оно просто вложено в B и при этом не совпадает с ним, то есть в B есть ещё какие-то элементы, которых нет в A. В таких книжках значки ⊂ и ⊃ используют именно для обозначения строгой вложенности. Но мы, следуя большинству учебников для младших курсов, не будем различать строгую и нестрогую вложенность множеств и будем пользоваться значками ⊂ и ⊃ независимо от того, могут A и B совпадать или нет.

Как можно было догадаться, множества A и B называются равными, если они совпадают, то есть любой элемент, который есть в A, есть и в B, и наоборот. Ещё это определение можно записать так: A=B, если одновременно A⊂ B и A⊃ B. (Ещё раз обращаю внимание: мы могли написать A⊆ B и A⊇ B, но мы договорились не различать между собой значки ⊂ и ⊆.)

Ещё одно интересное понятие, касающееся сравнения множеств — их эквивалентность — мы подробно обсудим ниже.

3. Операции над множествами

Несмотря на всю абстрактность и разнообразие множеств, есть несколько основных операций, аргументами которых могут выступать абсолютно любые множества. Операции эти рекомендуется понимать и помнить в не меньшей степени, чем само определение множества, ибо они, наравне с этим определением, являются опорой математики.

Итак, пусть у нас есть два произвольных множества A и B.

Объединением множеств A и B называется множество C, содержащее и все элементы A, и все элементы B; и только их. (Причём если какой-то элемент есть и там, и там, то в C он будет, разумеется, в единственном экземпляре, ведь, как мы заметили выше, элементы в множествах не повторяются.) Множество C обозначается как A∪ B; причём мы можем записать его, используя введённые выше обозначения:
C = {x: x∈ A  или  x∈ B} .
То есть операция объединения множеств имеет чёткую логическую интерпретацию: если x принадлежит C, то либо x принадлежит A, либо x принадлежит B (вариант «и то, и то», разумеется, тоже возможен).

Например, если A⊂ B, то A∪ B=B, потому что все элементы из A и так уже содержатся в B.

Далее, пересечением множеств A и B называется множество C, содержащее только те элементы, что есть и в A, и в B. Множество C обозначается как A∩ B; причём мы опять-таки можем записать его, используя общие обозначения:
C = {x: x∈ A  и  x∈ B} 
То есть логическая интерпретация операции пересечения такая: если x принадлежит C, то x непременно принадлежит и A, и B.

А что произойдёт, если у множеств A и B нет никаких общих элементов? Множество C=A∩ B тогда не должно содержать ни одного элемента. Так и будет! Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается ∅.

Кстати, когда говорят о двух непересекающихся множествах A и B, то их объединение иногда обозначают специальным значком A\sqcup B, чтобы подчеркнуть, что «слагаемые» не пересекаются.

Разностью множеств A и B называется множество C, содержащее все элементы A, не содержащиеся в B. C обозначается через A\ B и в общих обозначениях записывается как
C = {x: x∈ A  и  x\notin B} .
То есть C — это множество A, из которого «вырезали» множество B.

Симметрической разностью множеств A и B называется множество C = (A\ B)∪ 
(B\ A). Оно обозначается как A\bigtriangleup B. Легко видеть, откуда у этой операции такое название — в отличие от обычной разности, она симметрична, то есть от перемены мест «слагаемых» «сумма» не изменяется.

3.1. Диаграммы Венна

Диаграммы Венна — отличный способ сделать вышеизложенное ещё понятнее и очевиднее. Вот пример диаграммы Венна, изображающей результат операции пересечения:
То есть просто наши множества A и B совершенно загадочной для нас природы изображаются схематически в виде кругов. Такой подход позволяет предельно наглядно изобразить результаты элементарных операций над множествами. На картинке выше заштриховано пересечение множеств A и B. А вот как будет выглядеть их объединение:
А вот разность:
Диаграммы Венна позволяют изобразить ситуации и посложнее, и в дальнейшем мы будем ими пользоваться для доказательства некоторых соотношений. Вот пример диаграммы Венна с тремя множествами:
(Попробуйте отгадать, какая формула с A, B и C соответствует такому множеству!)

3.2. Законы де Моргана

Первое, в чём мы попытаемся разобраться с помощью диаграмм Венна, — это два закона де Моргана.

Для этого нам понадобятся кое-какие приготовления. Давайте возьмём какое-нибудь большое множество Ω (например, вещественную плоскость) и будем предполагать, что наши множества A и B являются подмножествами Ω. При таком рассмотрении мы можем ввести ещё одну элементарную операцию — операцию дополнения. Дополнением ко множеству A во множестве Ω называется множество C=Ω\ A. Оно обозначается как \bar{A} (если только из контекста понятно, в каком Ω идёт дело; если нет, то используются альтернативные обозначения, например, A^{Ω}).

Теперь, зная понятие дополнения и зафиксировав какое-нибудь произвольное Ω на ваш вкус, мы можем сформулировать два логических закона де Моргана:
\begin{array}{c}
\overline{A∪ B}=\bar{A}∩\bar{B} ,\\
\overline{A∩ B}=\bar{A}∪\bar{B} .
\end{array}
Законы эти я назвал логическими, потому что они пришли к нам из особого раздела математики — математической логики. Огастес Де Морган не видел в них какие-либо множества — он видел логическое утверждение A и логическое утверждение B (под логическим я подразумеваю утверждение, которое заведомо либо является истиной, либо ложью). Объединение A и B было для него логическим утверждением «верно хотя бы одно из утверждений A и B», пересечение — «верны одновременно и A, и B», а дополнение к A значило утверждение, противоположное A (то есть являющееся истинным, если A ложно, и ложным, если A истинно). Вспомните наши замечания по поводу логической интерпретации операций над множествами — вот они и пригодились.

Давайте теперь, как обещали, убедимся в верности законов де Моргана с помощью диаграмм Венна. Для этого возьмём в качестве примера первый закон и просто изобразим, что за множества находятся в левой и правой части равенства.

Итак, во-первых,
A∪ B=    
Следовательно,
§cale[2]{\overline{A∪ B}=}    
На диаграмме Ω — это весь прямоугольник.

Во-вторых, имеем
§cale[2]{\bar{A}=}    
и
§cale[2]{\bar{B}=}    
Следовательно,
§cale[2]{\bar{A}∩\bar{B}=}    

Итак, мы получили в левой и правой части формулы одно и то же множество. Точно так же можно доказать и второй закон. Впрочем, строгим доказательством это назвать нельзя, но, хотя и так, его полезность сложно переоценить. Диаграммы Венна дали нам понять, почему справедлив закон де Моргана, — и это самое важное. Ну а строгое доказательство — это уже дело техники. (Попробуйте его проделать!)

3.3. Произведение множеств

Ещё одна крайне важная и часто встречающаяся операция над множествами — их произведение. Чтобы дать определение этой причудливой операции, нам потребуется понятие набора.

Набором, или кортежем называется совокупность конечного числа элементов, заданных в определённом порядке. Важно: в наборе, в отличие от нашего традиционного множества, элементы могут повторяться. Набор из элементов x_1,x_2,…,x_k зачастую обозначается как ⟨ x_1,x_2,…,x_k⟩.

Собственно, в этом параграфе нас будет интересовать по большей части один частный случай набора — упорядоченная пара. Упорядоченная пара — это просто набор из двух элементов. Пару из элементов a и b мы будем обозначать как (a,b) (не путать с интервалом вещественной прямой!).

Вот теперь можно перейти и к самому интересному.

Представьте, что у нас есть два непустых множества A и B. Их элементы, как обычно, могут не иметь между собой ничего общего; сами множества могут пересекаться, а могут и нет — в данный момент нас это совершенно не волнует. Так вот, декартовым произведением двух множеств A и B называется множество C всевозможных упорядоченных пар (a,b), в которых a∈ A и b∈ B. Оно обозначается как A× B.

Итак, что же мы сделали? Мы «скрестили» два множества A и B, получив новое множество с совершенно новыми элементами. Если раньше, например, элементами «множителей» A и B были числа, то мы получим множество, элементы которого — пары чисел. Например, пусть A={1,2,3} и B={4,5,6}. Тогда
A× B = {
    (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
} .
Кстати, множество A× B можно записать в удобной форме, которую мы уже изучили выше:
A× B = {
    (a, b): a∈ A  и  b∈ B
} .

Рассмотрим пример посложнее. Вы, наверное, помните, что точки на плоскости удобно описывать двумя числами — её координатами. То есть любой точке плоскости M с координатами x_M,y_M соответствует упорядоченная пара (x_M,y_M)! Значит, упорядоченные пары вещественных чисел можно рассматривать как точки на плоскости. Так и будем делать.

Теперь пусть A=[a.b] и B=[c,d] — два отрезка вещественной прямой. Тогда их декартовым произведением будет множество точек плоскости C, которое имеет вид
Прямоугольник на плоскости
То есть мы получаем прямоугольник на плоскости! Действительно, если первые координаты всех входящих в C точек изменяются от a до b, а вторые — от c до d, то фигура, которую они образуют, и будет изображённым выше прямоугольником.

Давайте двигаться дальше. Что, если полученый прямоугольник мы умножим на ещё один отрезок [p,q]? Элементами полученного множества будут упорядоченные пары вида (s,z), где z∈ [p,q], а s — тоже упорядоченная пара вида (x,y). То есть вся эта конструкция имеет вид ((x,y),z). Давайте отождествим её с набором из трёх элементов (x,y,z) — и полученное нами множество теперь можно связать с некоторым множеством в трёхмерном пространстве. Можете самостоятельно проверить, что в данном случае это будет прямоугольный параллелепипед размера (b−a)×(d−c)×(q−p).

Ещё одним примером трёхмерной фигуры, полученной декартовым произведением множеств, может быть цилиндр:
Цилиндр в пространстве является произведением круга и отрезка
Кстати, заметьте, что круг декартовым произведением двух множеств в декартовых координатах уже не получить (попробуйте это доказать!).

Для удобства вводят иногда определение декартова произведения n множеств; декартовым произведением n множеств