Редкое определение играет в математике столь же большую роль, что и определение
множества. Собственно, поэтому так важно понять его и уловить его суть сразу, в
самом начале. В этой статье я попытаюсь дать неискушённому читателю
представление о множествах в высшей математике, их свойствах и применениях.В формальной математике множество —
обычно аксиоматическое понятие, и у него нет определения как такового. И его
действительно сложно дать — ведь под множеством мы подразумеваем любой набор
любых объектов. Этот набор может быть пустым, конечным или бесконечным; он может
содержать натуральные, вещественные числа, матрицы, целые
последовательности, мыслимые как самостоятельные
объекты, или даже другие множества, такие, как отрезки и лучи вещественной
прямой (или даже вся вещественная прямая), а также стулья, столы, вилки, яблоки,
торшеры, турнюры и так далее. Притом не налагается абсолютно никаких ограничений
на однородность объектов, содержащихся в множестве — одно множество может
содержать одновременно как числа, так и, например, другие множества. Объекты в
множестве также по умолчанию никак не упорядочены (если не указано обратное,
смотри далее про упорядоченные множества). Кстати, объекты, содержащиеся в
множестве, обычно называются его элементами.Основоположник теории множеств, великий немецкий математик Георг Кантор говорил,
что множество – это многое, мыслимое как единое.Однако некоторые ограничения при конструировании всевозможных множеств всё-таки
есть. Необходимость в введении таких ограничений явно показывает, например, парадокс Рассела. Он звучит
так:
Пусть — множество всех множеств, которые не содержат себя в
качестве своего элемента. Вопрос: содержит ли само себя в качестве элемента?
Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом — получаем
противоречие. Если нет — то, по определению , оно должно быть элементом
; вновь получаем противоречие.
Логический парадокс, возникший здесь, связан в том числе с использованием такой
конструкции, как «множество всех множеств, таких, что …» и «множество,
содержащее себя в качестве элемента». Такие множества невозможно себе
представить, и невозможно сконструировать какими-либо разумными и
последовательными путями. Чтобы избежать возникновения таких вот парадоксов,
математики вот уже добрую сотню лет пытаются формализовать понятие множества,
усложняя и усложняя теорию Кантора. Но это очень специфичная область; нам же
достаточно лишь знать, что без формулировок типа «множество всех множеств» и
«множество, содержащее себя» в наших выкладках всё будет хорошо.Студенты, изучающие всевозможные курсы высшей математики и математического
анализа, большую часть времени будут сталкиваться с частными случаями множеств —
числовыми множествами, то есть
множествами, элементами которых являются исключительно вещественные числа.
Например, все вещественные числа образуют множество, которые мы
привыкли называть вещественной прямой и обозначать значком . Также
мы уже знаем о таких числовых множествах, как отрезок — множество всех вещественных чисел ,
удовлетворяющих неравенству , и интервал — множество всех вещественных чисел
, удовлетворяющих неравенству . Кстати, давайте разберёмся с
обозначениями. Последние два примера множеств можно записать в следующем,
общепринятом для описания множеств виде:
То есть такое описание множества состоит из двух частей: определения, какого
рода элементы оно содержит, и условия (или нескольких), которому должен
удовлетворять элемент, чтобы в нём содержаться. Например, в последней формуле
выражением мы обозначили, что наше множество содержит только
вещественные числа, а условием сузили «круг подозреваемых» до
элементов интервала . Можно придумать и более экзотические примеры.
Например,
— это множество всех вещественных корней уравнения . Кстати, мы
ведь знаем эти корни — это и . Так давайте тогда запишем множество
проще:
Здесь мы сконструировали множество простым перечислением всех входящих
в него элементов. При таком способе построения множество записывается просто как
фигурные скобки с выписанными внутри них в любом порядке элементами множества.Причём так можно записывать и бесконечные множества. Например, множество
натуральных чисел:
Отдельно обращу внимание на то, что элементы во множествах не могут
повторяться. То есть если у нас есть некий элемент и множество ,
то мы можем лишь сказать, что принадлежит множеству (это записывается
как ) либо не принадлежит множеству (это записывается как ), но не можем и не имеем права сказать, сколько раз он содержится в . Но
если мы вдруг запишем множество , то ничего страшного не случится и
запись не будет ошибочной — просто она будет значить то же самое, что и
.
2. Сравнение множеств
Есть несколько способов сравнить два данных нам множества и .
Множество называется подмножеством множества (или говорят, что вложено в множество ), если
все элементы содержатся в . То есть множество «шире» множества
и полностью его покрывает. Такое взаимоотношение множеств обозначается как
или . Соответственно, симметричные значки и
означали бы, что является подмножеством . (Тут присутствует
полная аналогия со знаками .)В некоторых книжках различают ещё понятие строгой вложенности:
множество называется собственным
подмножеством множества , или говорят, что строго вложено в множество , если
оно просто вложено в и при этом не совпадает с ним, то есть в есть ещё
какие-то элементы, которых нет в . В таких книжках значки и
используют именно для обозначения строгой вложенности. Но мы, следуя
большинству учебников для младших курсов, не будем различать строгую и нестрогую
вложенность множеств и будем пользоваться значками и
независимо от того, могут и совпадать или нет.Как можно было догадаться, множества и называются равными, если они совпадают, то есть любой
элемент, который есть в , есть и в , и наоборот. Ещё это определение можно
записать так: , если одновременно и . (Ещё раз
обращаю внимание: мы могли написать и , но мы
договорились не различать между собой значки и .)Ещё одно интересное понятие, касающееся сравнения множеств — их
эквивалентность — мы подробно обсудим ниже.
3. Операции над множествами
Несмотря на всю абстрактность и разнообразие множеств, есть несколько основных
операций, аргументами которых могут выступать абсолютно любые множества.
Операции эти рекомендуется понимать и помнить в не меньшей степени, чем само
определение множества, ибо они, наравне с этим определением, являются опорой
математики.Итак, пусть у нас есть два произвольных множества и .Объединением множеств и
называется множество , содержащее и все элементы , и все элементы ;
и только их. (Причём если какой-то элемент есть и там, и там, то в он будет,
разумеется, в единственном экземпляре, ведь, как мы заметили выше, элементы в
множествах не повторяются.) Множество C обозначается как ; причём мы
можем записать его, используя введённые выше обозначения:
То есть операция объединения множеств имеет чёткую логическую интерпретацию:
если принадлежит , то либо принадлежит , либо принадлежит
(вариант «и то, и то», разумеется, тоже возможен).Например, если , то , потому что все элементы из и
так уже содержатся в .Далее, пересечением
множеств и называется множество , содержащее только те элементы, что
есть и в , и в . Множество обозначается как ; причём мы
опять-таки можем записать его, используя общие обозначения:
То есть логическая интерпретация операции пересечения такая: если
принадлежит , то непременно принадлежит и , и .А что произойдёт, если у множеств и нет никаких общих элементов?
Множество тогда не должно содержать ни одного элемента. Так и будет!
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .Кстати, когда говорят о двух непересекающихся множествах и , то их
объединение иногда обозначают специальным значком , чтобы
подчеркнуть, что «слагаемые» не пересекаются.Разностью множеств и
называется множество , содержащее все элементы , не содержащиеся в .
обозначается через и в общих обозначениях записывается как
То есть — это множество , из которого «вырезали» множество .Симметрической
разностью множеств и называется множество . Оно обозначается как . Легко видеть, откуда
у этой операции такое название — в отличие от обычной разности, она
симметрична, то есть от перемены мест «слагаемых» «сумма» не
изменяется.
3.1. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна — отличный
способ сделать вышеизложенное ещё понятнее и очевиднее. Вот пример диаграммы
Венна, изображающей результат операции пересечения:
То есть просто наши множества и совершенно загадочной для нас природы
изображаются схематически в виде кругов. Такой подход позволяет предельно
наглядно изобразить результаты элементарных операций над множествами. На
картинке выше заштриховано пересечение множеств и . А вот как будет
выглядеть их объединение:
А вот разность:
Диаграммы Венна позволяют изобразить ситуации и посложнее, и в дальнейшем мы
будем ими пользоваться для доказательства некоторых соотношений. Вот пример
диаграммы Венна с тремя множествами:
(Попробуйте отгадать, какая формула с , и соответствует такому
множеству!)
3.2. Законы де Моргана
Первое, в чём мы попытаемся разобраться с помощью диаграмм Венна, — это два
закона де Моргана.Для этого нам понадобятся кое-какие приготовления. Давайте возьмём какое-нибудь
большое множество (например, вещественную плоскость) и будем
предполагать, что наши множества и являются подмножествами . При
таком рассмотрении мы можем ввести ещё одну элементарную операцию — операцию
дополнения. Дополнением ко множеству во множестве называется
множество . Оно обозначается как (если только из
контекста понятно, в каком идёт дело; если нет, то используются
альтернативные обозначения, например, ).Теперь, зная понятие дополнения и зафиксировав какое-нибудь произвольное
на ваш вкус, мы можем сформулировать два логических закона де Моргана:
Законы эти я назвал логическими, потому что они пришли к нам из особого раздела
математики — математической логики. Огастес Де Морган не видел в них
какие-либо множества — он видел логическое утверждение и логическое
утверждение (под логическим я подразумеваю утверждение, которое заведомо
либо является истиной, либо ложью). Объединение и было для него
логическим утверждением «верно хотя бы одно из утверждений и »,
пересечение — «верны одновременно и , и », а дополнение к значило
утверждение, противоположное (то есть являющееся истинным, если ложно, и
ложным, если истинно). Вспомните наши замечания по поводу логической
интерпретации операций над множествами — вот они и пригодились.Давайте теперь, как обещали, убедимся в верности законов де Моргана с помощью
диаграмм Венна. Для этого возьмём в качестве примера первый закон и просто
изобразим, что за множества находятся в левой и правой части равенства.Итак, во-первых,
Следовательно,
На диаграмме — это весь прямоугольник.Во-вторых, имеем
и
Следовательно,
Итак, мы получили в левой и правой части формулы одно и то же множество. Точно
так же можно доказать и второй закон. Впрочем, строгим доказательством это
назвать нельзя, но, хотя и так, его полезность сложно переоценить. Диаграммы
Венна дали нам понять, почему справедлив закон де Моргана, — и это
самое важное. Ну а строгое доказательство — это уже дело техники. (Попробуйте
его проделать!)
3.3. Произведение множеств
Ещё одна крайне важная и часто встречающаяся операция над множествами —
их произведение. Чтобы дать определение этой причудливой операции,
нам потребуется понятие набора.Набором, или
кортежем называется совокупность конечного числа элементов, заданных в
определённом порядке. Важно: в наборе, в отличие от нашего традиционного множества,
элементы могут повторяться. Набор из элементов
зачастую обозначается как .Собственно, в этом параграфе нас будет интересовать по большей части один частный
случай набора — упорядоченная пара.
Упорядоченная пара — это просто набор из двух элементов. Пару из элементов и мы
будем обозначать как (не путать с интервалом вещественной прямой!).Вот теперь можно перейти и к самому интересному.Представьте, что у нас есть два непустых множества и . Их элементы, как обычно,
могут не иметь между собой ничего общего; сами множества могут пересекаться, а могут и
нет — в данный момент нас это совершенно не волнует. Так вот, декартовым произведением двух множеств и
называется множество всевозможных упорядоченных пар , в которых и .
Оно обозначается как .Итак, что же мы сделали? Мы «скрестили» два множества и , получив новое множество с
совершенно новыми элементами. Если раньше, например, элементами «множителей» и были
числа, то мы получим множество, элементы которого — пары чисел. Например, пусть
и . Тогда
Кстати, множество можно записать в удобной форме, которую мы уже изучили выше:
Рассмотрим пример посложнее. Вы, наверное, помните, что точки на плоскости удобно описывать
двумя числами — её координатами. То есть любой точке плоскости с координатами
соответствует упорядоченная пара ! Значит, упорядоченные пары вещественных чисел
можно рассматривать как точки на плоскости. Так и будем делать.Теперь пусть и — два отрезка вещественной прямой. Тогда их декартовым
произведением будет множество точек плоскости , которое имеет вид
То есть мы получаем прямоугольник на плоскости! Действительно, если первые координаты всех
входящих в C точек изменяются от до , а вторые — от до , то фигура, которую
они образуют, и будет изображённым выше прямоугольником.Давайте двигаться дальше. Что, если полученый прямоугольник мы умножим на ещё один отрезок
? Элементами полученного множества будут упорядоченные пары вида , где ,
а — тоже упорядоченная пара вида . То есть вся эта конструкция имеет вид .
Давайте отождествим её с набором из трёх элементов — и полученное нами множество теперь
можно связать с некоторым множеством в трёхмерном пространстве. Можете самостоятельно проверить,
что в данном случае это будет прямоугольный параллелепипед размера .Ещё одним примером трёхмерной фигуры, полученной декартовым произведением множеств, может быть цилиндр:
Кстати, заметьте, что круг декартовым произведением двух множеств в декартовых координатах
уже не получить (попробуйте это доказать!).Для удобства вводят иногда определение декартова произведения множеств; декартовым
произведением множеств