Последовательности


1. Определение и примеры

Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1, 2, …, n, … ставится в соответствие по определённому закону некоторое вещественное число x_n, то множество занумерованных вещественных чисел x_1,x_2,…,x_n,… мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью. — В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. 2-е изд; глава 3, §1, пункт 1; стр. 68.

Последовательность — это набор из бесконечного количества элементов, которые занумерованы, т. е. имеют порядковые номера: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. То есть это, фактически, любая функция от натурального аргумента. Под числовой последовательностью обычно подразумевают таковую, состоящую из вещественных чисел. На последовательностях строится вся основа математического анализа, и им уделяется много внимания на первом курсе не только математических факультетов. И хотя представить себе «жизненное» применение самих по себе числовых последовательностей не так-то просто, мы постараемся уделить им достаточно много внимания примерами и демонстрациями, чтобы читатель мог составить о них полное представление.

Особенность числовых последовательностей — бесконечное количество элементов в них. Именно это мешает как пониманию, так и исследованию оных, но в то же время и несёт основную пользу этих объектов. Ведь нельзя ни записать, ни хотя бы представить себе сразу все элементы последовательности. Так что же делать?

Проще всего задать последовательность просто формулой, зависящей от номера элемента n. Например, так будут выглядеть первые элементы примитивной последовательности натуральных чисел {n}:

(Тяните красный прямоугольник внизу, чтобы сдвинуть ленту.)

Обратите внимание и на обозначение: если у нас есть последовательность из элементов a_1,a_2,…,a_n,…, то мы будем записывать её как {a_n}_{n=1}^{∞} или просто {a_n}.

Можно придумать сколь угодно сложные (и красивые) примеры последовательностей. Формула, выражающая n-й элемент последовательности, может зависеть от (n−1)-го элемента или даже от всех предыдущих. Вот, например, первые 1000 элементов последовательности a_n=\cos(na_{n−1})+a_{n−2}:

Всё это, конечно, выглядит забавно, но…

2. Зачем нужны последовательности?

Ответ на этот вопрос, к сожалению, не так прост, как хотелось бы. Изучив математику чуть глубже, можно узнать, что она подобна дереву, в котором мощный ствол держится на множестве тонких, скрытых под землёй корней, и уже из него растут многочисленные раскидистые ветви, радующие взор плодами. Теория числовых последовательностей — один из самых незаметных корней. Однажды изучив их на первом курсе, вы почти никогда уже не встретите их в чистом виде, но на них будет строится почти всё, с чем вы будете сталкиваться. Числа сперва сменятся векторами, а потом и вовсе функциями или абстрактными элементами, но оперирование такими последовательностями всё равно будет сводиться к оперированию числовыми.

И тем не менее, я попытаюсь дать представление, где анализ числовых последовательностей может пригодиться.

Простейший пример: у вас есть какой-то многошаговый процесс, и вы хотите узнать, чем он закончится. Хороший, почти классический (правда, в другой области математики) пример такого процесса — изменение численности популяции.

Пусть в некотором абстрактном поселении живёт сто человек. И пусть его не касаются болезни, голод, войны и миграция: люди в нём только рождаются и умирают. Пусть μ — рождаемость, а ν — смертность. Это такие числа, что при населении в N жителей в среднем за год рождается μ N жителей и умирает ν N жителей. (Это необязательно целые числа, но фраза в среднем позволяет нам оперировать вещественными.) Тогда если a(n−1) — население нашего посёлка в (n−1)-м году, то его население в n-ном выражается формулой

a(n)=(1+μ−ν)⋅ a(n−1).
(2.1)

Таким образом, задав начальное население нашего посёлка n(0)=100, мы можем получить последовательность, описывающую изменение его населения за всю оставшуюся историю. (При этом не стоит забывать, насколько далёк «наш» мир от настоящего, в котором на демографию влияют сотни факторов.) Вот, например, как будет примерно выглядеть эта последовательность, если смертность будет превышать рождаемость на одного человека в год:

А вот как, если рождаемость будет превышать смертность на всё того же одного человека в год:

Если рождаемость будет равна смертности, то, как несложно заметить, население нашего идеального городка не будет изменяться. Но если придать реалистичности и сделать разницу между рождаемостью и смертностью случайной и лежащей, например, между одним и минус одним человеком в год, то получится следующая картина:

(Она должна меняться при каждом обновлении странички.)

Теперь вернёмся от случайностей к определённостям. Внимательно посмотрев на нашу формулу, выражающую очередной член последовательности через предыдущий, можно прийти к выводу, что вся наша последовательность описывается простым соотношением:

a(n)=a(0)⋅(1+μ−ν)^n.

Усложнив модель и введя в неё дополнительные факторы и зависимости, формулу можно значительно усложнить. Но зачем нам она? Вернёмся к постановке задачи. Мы рассматриваем некоторый пошаговый процесс и хотим знать, чем он закончится. В нашем примере с населением города можно даже упростить вопрос: вымрет город когда-нибудь или нет? В попытке сформулировать эту задачу математически мы постепенно приходим к определению предела.

3. Сходимость и пределы

Итак, чем же «закончится» последовательность? Чтобы научиться отвечать на такой вопрос, нужно уточнить понятие «закончится». Ведь последовательности бесконечны, и ничем не «заканчиваются» в прямом смысле этого слова. Попытаемся рассмотреть конкретный пример. Тот же наш многошаговый процесс. Когда можно считать, что процесс закончился? Например, когда состояние изучаемого объекта больше не изменяется, то есть когда ничего не происходит. Это значит, что, начиная с некоторого элемента N, все последующие элементы последовательности равны между собой. Тогда константа C, которой они все равны, описывает некое конечное состояние, финал нашего процесса.

Это хорошая характеристика, удобная и понятная; но очень мало последовательностей, встречающихся нам в математических изысканиях, так заканчивают свой путь. Взять ту же популяцию: ни вымирание, ни размножение не остановилось на каком-либо рубеже и никогда не остановится. При вымирании население будет убывать и сколь угодно близко приближаться к нулю, но никогда его не достигнет. (Ведь мы используем вещественные числа, «средние», а не целые.) И тем не менее, когда мы видим процесс вымирания, так уверенно приводящий популяцию к нулю, интуитивно мы понимаем, что дело «заканчивается» нулём. Поэтому можно говорить, что последовательность «заканчивается» на константе C, если при росте n элементы этой последовательности сколь угодно близко сходятся к этой константе.

Формальное и математически чистое определение этому явлению дал французский математик Огюстен Луи Коши. Оно звучит так: говорят, что числовая последовательность ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞} сходится к числу C, если для любого сколь угодно малого отклонения ε>0 существует достаточно большой номер N=N(ε) такой, что для всех последующих номеров n>N элементы a_n этой последовательности отличаются от C не больше, чем на ε, то есть справедливо неравенство |a_n−C|<ε. При этом говорят также, что число C является пределом числовой последовательности ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞}; предел обозначается значком \lim\limits_{n\rightarrow∞}a_n. Если попутно C=0, то последовательность ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞} называют бесконечно малой.

3.1. Пример бесконечно малой последовательности

По счастливому стечению обстоятельств мы уже знакомы с таким примером. Именно к бесконечно малым последовательностям относится последовательность ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞}, описывающая популяцию города с отрицательным естественным приростом населения (смертностью выше рождаемости). Давайте это проверим. Для этого мы будем использовать так называемое доказательство по определению (поскольку кроме определения у нас пока что ничего нет; позже мы найдём более простые способы). Итак, чтобы доказать, что последовательность a_n=a_0⋅(1+μ−ν)^n удовлетворяет определению бесконечно малой последовательности, нам нужно для любого ε>0 подобрать такое N, чтобы для всех n>N гарантированно выполнялось неравенство |a_n|<ε. Для удобства давайте перепишем это неравенство, учтя конкретный вид нашей последовательности:

a_0⋅(1+μ−ν)^n<ε.

Мы убрали модуль, потому что это число в левой части неравенства всегда заведомо положительно (нам, разумеется, неинтересны ситуации с отрицательным или нулевым начальным населением a_0, равно как и с естественным приростом населения меньше единицы). Теперь поделим всё на a_0 (оно ненулевое) и прологарифмируем неравенство:

\ln(1+μ−ν)^n<\ln≤ft((ε) ⁄ (a_0)\right).

Теперь воспользуемся свойствами логарифма:

n⋅\ln(1+μ−ν)<\ln≤ft((ε) ⁄ (a_0)\right).

Таким образом, мы получаем условие на n вида

n>\frac{\ln≤ft((ε) ⁄ (a_0)\right)}{\ln(1+μ−ν)}.

Знак изменился, поскольку при убыли населения (то бишь 1+μ−ν<1) логарифм в знаменателе отрицательный. При ε<1 логарифм в верхней части также отрицательный (и увеличивается по модулю с уменьшением ε), так что мы можем взять

N=≤ft\lceil\frac{\ln≤ft((ε) ⁄ (a_0)\right)}{\ln(1+μ−ν)}\right\rceil,

где \lceil⋅\rceil — операция округления вверх. Если же ε>1, то можно спокойно взять N=1. Так что мы подобрали искомое N для любого ε>0, а значит, «официально» доказали, что наша последовательность бесконечно мала. Попутно мы можем дать частичный ответ на поставленный выше вопрос: при отрицательном приросте населения город вымирает.

Кстати, здесь нам ощутимо пригодилась явная формула для n-го элемента последовательности — не будь её, доказательство могло бы быть в разы сложнее. Позже мы изучим несколько правил, которые ещё больше упростят нахождение предела последовательности, заданной в явном виде.

3.2. Бесконечно большие последовательности

Продолжим наши демографические исследования. Если смертность равна рождаемости, то население не изменяется — мы уже отмечали это. Это также означает, что последовательность ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞} сходится к числу a_0. (Очевидно, что если все элементы последовательности равны какому-то числу, то последовательность сходится к нему.) А что, если рождаемость выше смертности?

В этом случае последовательность неуклонно возрастает, всё больше отдаляясь и от нуля, и от любого другого числа. У неё просто нет предела в обычном смысле этого слова — но мы можем придать ему ещё один смысл.

Последовательность ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞} называется бесконечно большой, если для любого сколь угодного большого числа M>0 существует достаточно большой номер N=N(M) такой, что для всех последующих номеров n>N элементы a_n этой последовательности больше M по модулю, то есть выполняется неравенство |a_n|>M.

Проверить, что при рождаемости, превышающей смертность, описанная выше последовательность является бесконечно большой, предоставляю вам в качестве простого упражнения; доказательство этого факта будет полностью аналогично доказательству для противного случая, которое мы уже провели.

По поводу бесконечно больших последовательностей можно сказать ещё кое-что. Если последовательность ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞} бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности и пишут \lim\limits_{n\rightarrow∞}a_n=∞. При этом выделяют ещё два частных случая. Говорят, что последовательность стремится к плюс бесконечности и пишут \lim\limits_{n\rightarrow∞}a_n=+∞, если она бесконечно большая и, начиная с некоторого номера, все её элементы положительны; аналогично, говорят, что последовательность стремится к минус бесконечности и пишут \lim\limits_{n\rightarrow∞}a_n=−∞, если она бесконечно большая и, начиная с некоторого номера, все её элементы отрицательны. То есть выделяют отдельно две ситуации: когда последовательность уходит ровно вверх и ровно вниз. Например, всё та же популяция при положительном приросте стремится к плюс бесконечности (её элементы вообще все положительны); а вот последовательность a_n=n^2⋅\cosπ n не стремится ни к плюс, ни к минус бесконечности, хотя и является бесконечно большой:

Кстати, такие скачущие вверх-вниз последовательности и функции неформально называют осциллирующими.

3.3. Подпоследовательности и частичные пределы

Изменив предыдущий пример, можно получить пример последовательности, у которой просто нет предела, то есть которая не сходится ни в одном из описанных выше смыслов. Например, такой последовательностью будет a_n=\cos(π n) ⁄ (11):

Но и в этом случае теории числовых последовательностей есть, что сказать.

Начнём с очень нужного здесь и в дальнейшем определения. Пусть дана последовательность ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞} и выбраны индексы i_1<i_2<i_3<…<i_k<…, где k изменяется от 1 до бесконечности (то есть, фактически, задана последовательность индексов). Тогда последовательность вида ≤ft{a_{i_k}\right}_{k=1}^{∞} называется подпоследовательностью последовательности ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞}.

Приведём на всякий случай несколько простых примеров. Так, последовательность чётных чисел

\big{2, 4, 6, 8, 10, 12, …, 2(n−1), 2n, 2(n+1), …\big}

является подпоследовательностью последовательности {n} натуральных чисел. То же самое справедливо относительно последовательности квадратов натуральных чисел

\big{1, 4, 9, 16, 25, 36, …, (n−1)^2, n^2, (n+1)^2, …\big}

и последовательности простых чисел

\big{2, 3, 5, 7, 11, 13, …, p_{n−1}, p_n, p_{n+1}, …\big}.

А вот последовательность из единиц не является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел, равно как и все последовательности типа

\big{2, 1, 1, 4, 10, 5, 2, 8, 100, 53, …\big},

в которых изменён первоначальный порядок элементов или продублированы какие-либо из них. Зато последовательность из одних единиц является подпоследовательностью последовательности

\big{1,   1,2,   1,2,3,   1,2,3,4,   1,2,3,4,5,   …,n−1,   1,2,…,n,   1,…\big},

равно как и совершенно любая (!!!) последовательность, в которую входят только натуральные числа. (Для осознания и проверки этого факта может потребоваться некоторое абстрактное мышление; попробуйте обратиться за подробностями в статью о множествах.)

Ну а теперь можно перейти и к главному определению в этом пункте. Число C называется частичным пределом последовательности ≤ft{a_n\right}_{n=1}^{∞}, если в ней можно найти подпоследовательность, сходящуюся к C (в обычном смысле этого слова).

Теперь давайте разберём это определение. Значит, предел любой подпоследовательности называется частичным пределом содержащей её последовательности. Взглянем на такой пример:

В этой последовательности есть подпоследовательность из нулей — значит, ноль является её частичным пределом (как и плюс бесконечность). Кстати, если у последовательности есть обычный, полноценный предел, то он тоже является её частичным пределом, поскольку любая последовательность является своей собственной подпоследовательностью.

Вообще частичный предел отличается от обычного тем, что если в последнем нужно, чтобы все точки последовательности сгущались к одному числу, то в первом нужно, чтобы любое бесконечное число точек нашей последовательности сгущалось к этому числу. Если отложить все числа, встречающиеся в интересующей нас последовательности хотя бы раз, на вещественной прямой, то точки сгущения, которые мы на ней увидим, и будут частичными пределами.

Возвращаясь к нашему примеру с \cos(π n) ⁄ (11), мы можем сказать, что частичными пределами этой последовательности будут точки \cos(π k) ⁄ (11) для всех k=1,2,…,11. Докажем это!

Нахождение частичных пределов и доказательство факта их наличия может быть мудрёным и муторным, но, к счастью, наш случай очень простой. Мы просто докажем, что для каждого из объявленных нами частичными пределами чисел есть (бесконечная, разумеется) подпоследовательность, в которой все элементы ему равны.

Действительно, рассмотрим конкретное k от 1 до 11. Мы точно знаем, что k-й элемент последовательности равен числу \cos(π k) ⁄ (11). Рассмотрим элемент номер k+22. Он равен

a_{k+22}=\cos(π(k+22)) ⁄ (11)=\cos≤ft((π k) ⁄ (11)+2π\right)=\cos(π k) ⁄ (11)=a_k.

То есть наша последовательность периодическая с периодом 22! Значит, если мы возьмём подпоследовательность вида

\big{a_k, a_{k+22}, a_{k+2⋅ 22}, a_{k+3⋅ 22}, …, a_{k+m⋅ 22}, …\big},

то она будет состоять из одних и тех же чисел, в точности равных \cos(π k) ⁄ (11), что и требовалось доказать.

И напоследок: частичными пределами уже упоминавшейся ранее последовательности