Линейные пространства


1. Определение и примеры

Линейное (или также векторное) пространство — основополагающий термин, встречающийся, наверное, в подавляющем большинстве работ по высшей математике. Поэтому он является также необходимым пунктом программы по линейной алгебре любого факультета, на котором преподаётся высшая математика. Это одна из тех абстракций, которые ближе к жизни, чем большинство других, и которая, тем не менее, позволяет нам изучить очень много свойств самых разнообразных объектов, категорически не вдаваясь в какие-либо детали. Поэтому именно ей посвящена данная статья.

В этой связи вспомним сперва о такой вещи, как школьные геометрические векторы.

Что тогда называлось вектором? Грубо говоря, вектором в школе была некоторая стрелочка, которая имела длину и направление и могла быть приложена к любой точке (например, к началу координат).

Ассортимент действий с векторами был не очень велик: мы могли умножить вектор на вещественное число, изменив этим его длину (и сменив направление на противоположное, если число было отрицательное), и сложить его с каким-нибудь другим вектором. При этом у каждого вектора был обратный (той же длины, но направленный в противоположную сторону), сумма с которым давала так называемый нулевой вектор. В частности, благодаря этому мы могли также вычитать векторы.

Притом эти свойства векторов были справедливы и для двухмерного, и для трёхмерного случая. А можно больше?

Оказывается, что этих свойств достаточно, чтобы создать нечто, похожее по поведению на школьные векторы, но уходящее далеко за пределы школьной геометрии.

Давайте скажем, что векторы — это элементы некоторого непустого множества V, на котором определены две операции: сложение векторов (если a,b∈ V, то a+b∈ V) и умножение векторов на вещественные числа (если a∈ V и α∈ℝ, то α a∈ V). Потребуем, чтобы данные операции обладали следующими свойствами:
  • (a+b)+c=a+(b+c) ∀ a,b,c∈ V (ассоциативность сложения векторов);
  • существует особый вектор 0, называемый нулевым вектором, такой, что
    a+0=0+a=a ∀ a∈ V;
  • для любого вектора a∈ V существует вектор b∈ V такой, что
    a+b=b+a=0;
  • a+b=b+a ∀ a,b∈ V (коммутативность сложения векторов);
  • α(β a)=(αβ)a ∀ α,β∈ℝ, a∈ V;
  • (α+β)a=(α a)+(β a) ∀ α,β∈ℝ, a∈ V (дистрибутивность);
  • α(a+b)=(α a)+(α b) ∀ α∈ℝ, a,b∈ V (дистрибутивность);
  • 1⋅ a=a ∀ a∈ V.
В таких случаях множество V называется вещественным линейным пространством. Е. Е. Тыртышников. Матричный анализ и линейная алгебра; лекция 11, страница 73.

Проще говоря, у нас есть набор некоторых штук, которые мы умеем складывать и умножать на числа, причём так, как привыкли делать это с обычными геометрическими векторами. Тогда такие штуки тоже можно называть векторами, а множество из них всех будет называться линейным пространством.

Например, вспомним статью о матрицах. Там мы ввели такое понятие, как вектор-столбец — таблицу чисел из n строк и одного столбца:
v=\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix},   v_1,…,v_n∈ℝ.
Вектор-столбцы одного размера можно складывать как обычные матрицы:
\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}v_1+u_1\\\vdots\\v_n+u_n\end{bmatrix}
и умножать на числа, тоже как обычные матрицы:
α⋅\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}α⋅ v_1\\\vdots\α⋅ v_n\end{bmatrix}.
Несложно проверить и выполнение для этих операций указанных выше свойств; в частности, нулевым вектором будет вектор из нулей:
\vec{ 0}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\end{bmatrix}
То есть получается, что множество из всех вектор-столбцов заданного фиксированного размера n с описанными выше операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Оно обозначается как ℝ^n.

Но что же это за пространство?

Мы знаем, что любая точка на плоскости (при зафиксированной системе координат) описывается двумя числами — координатами. И каждый геометрический вектор на плоскости тоже описывается двумя координатами — например, координатами точки, в которую он «воткнётся», если отложить его от начала координат. Мы также знаем, что чтобы сложить два вектора, достаточно сложить их координаты, а чтобы умножить вектор на число, достаточно умножить каждую координату на это число. Значит, если мы сопоставим каждому вектору на плоскости вектор-столбец размера 2 с координатами этого вектора, то получится, что все векторы плоскости составляют линейное пространство ℝ^2!

То же самое справедливо и для трёхмерного пространства: все векторы пространства составляют линейное пространство ℝ^3. Получается, что для n>3 пространство ℝ^n есть не что иное, как желанная абстракция, n–мерное пространство векторов!..

Но и этим дело не исчерпывается. Давайте вспомним статью о последовательностях. Последовательности мы тоже можем легко научиться складывать и умножать на число:
{a_n}_{n=1}^{∞}+{b_n}_{n=1}^{∞}={a_n+b_n}_{n=1}^{∞},
α⋅{a_n}_{n=1}^{∞}={α⋅ a_n}_{n=1}^{∞}.
Притом все вышеописанные свойства операций снова будут выполнены, и нулевым «вектором» будет последовательность из нулей. Получается, что всевозможные последовательности тоже образуют линейное пространство! Причём ни при каком n оно не совпадёт с ℝ^n, потому что каждый «вектор» в нём описывается бесконечным количеством чисел. Оно является бесконечномерным.

2. Линейная зависимость и базис

Первое, что нам понадобится в линейном пространстве — это система координат. В школьной геометрии в трёхмерном случае, например, у нас были векторы \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
Они также назывались ортами и несложно было увидеть, что если в указанной системе координат какой-нибудь вектор v имеет координаты (v_x,v_y,v_z), то в терминах операций сложения векторов и умножения вектора на число его можно было записать так:
\LARGE \vec{v}=v_x⋅\vec{i}+v_y⋅\vec{j}+v_z⋅\vec{k}.
Геометрически это можно изобразить следующим образом:
То есть получается, что любой вектор трёхмерного пространства можно представить в виде суммы трёх заранее определённых векторов с зависящими от этого самого вектора коэффициентами. Это уже кое-что!

Кстати, линейной комбинацией каких-либо векторов \vec{v}_1,\vec{v}_2,…,\vec{v}_n называется любой вектор вида
\vec{v}=α_1\vec{v}_1+α_2\vec{v}_2+…+α_n\vec{v}_n,   α_1,…,α_n∈ℝ.
Утверждение выше с использованием этого нового термина можно переписать: любой вектор трёхмерного пространства является линейной комбинацией векторов \vec{i},\vec{j},\vec{k}.

Но, как видно, линейные комбинации существуют не только в 3D. Такую сумму можно выписать для любых векторов любого (вещественного) линейного пространства — а значит, можно попытаться сформулировать аналогичное написанному выше утверждение, например, для описанного выше пространства ℝ^n.

И это легко сделать! Возьмём пространство ℝ^n (зафиксируем какое-нибудь конкретное n) и введём в нём векторы \vec{e}_i, i=\overline{1,n}:
\vec{e}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}, \vec{e}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},…, 
\vec{e}_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}.
Тогда, очевидно, любой вектор-столбец можно будет представить в виде их линейной комбинации:
\vec{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}v_1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}0\\v_2\\\vdots\\0\end{bmatrix}+…+
\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}=v_1\vec{e}_1+v_2\vec{e}_2+…+v_n\vec{e}_n.
Векторы \vec{e}_1,…,\vec{e}_n являются ортами линейного пространства ℝ^n.

Таким образом, нами была получена первая аналогия между векторами школьной геометрии и абстрактными векторами пространства ℝ^n, уходящая далеко за рамки определения линейного пространства. И это только начало!

Теперь изучим вот какой вопрос. Вспомним, например, плоскость. На плоскости мы могли вводить много разных систем координат, и они могли отличаться отнюдь не только началом отсчёта:

В приведённом примере мы просто «повернули» всю систему координат. Вектор \vec{v} остался прежним, но, так как изменилась система координат (и орты вместе с ней), то чтобы представить его в виде линейной комбинации новых орт \vec{i}',\vec{j}', нам потребуются новые координаты: v_x' и v_y'.

То есть
\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}=v'_x\vec{i'}+v'_y\vec{j'}.

Давайте теперь поставим перед собой задачу определить эти самые новые координаты v_x' и v_y'. Для этого сперва заметим вот что: поскольку новые орты — это обычные векторы, то они представимы в виде линейных комбинаций старых орт, и наоборот. Давайте распишем эти представления:
\begin{array}{ccccc}\vec{i'}&=&a_{11}\vec{i}&+&a_{12}\vec{j},\\[2mm]
\vec{j'}&=&a_{21}\vec{i}&+&a_{22}\vec{j},\\[2mm]
\vec{i}&=&b_{11}\vec{i'}&+&b_{12}\vec{j'},\\[2mm]
\vec{j}&=&b_{21}\vec{i'}&+&b_{22}\vec{j'}.\end{array}

Коэффициенты a_{ij} и b_{ij}, которые зависят только от старой и новой систем координат, запишем в матрицы A и B:
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix},   B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{21}\\b_{12}&b_{22}\end{bmatrix}.

(Кстати, если вы до сих пор не ознакомились со статьёй о матрицах, настоятельно рекомендую это сделать.)

Теперь подставим записанные представления в выражение для вектора \vec{v}:
\begin{array}{lccccc}\vec{v}&=&v'_x\vec{i'}+v'_y\vec{j'}=&&\\[2mm]
&=&v'_x(a_{11}\vec{i}+a_{12}\vec{j})&+&v'_y(a_{21}\vec{i}+a_{22}\vec{j})&=\\[2mm]
&=&(a_{11}v'_x+a_{21}v'_y)\vec{i}&+&(a_{12}v'_x+a_{22}v'_y)\vec{j}&=\\[2mm]
&&&=&v_x\vec{i}+v_y\vec{j}.&\end{array}

Получается, что для нахождения v_x' и v_y' достаточно решить систему линейных уравнений
≤ft{\begin{matrix}a_{11}v'_x&+&a_{21}v'_y&=& v_x,\\[2mm]a_{12}v'_x&+&a_{22}v'_y&=& v_y.\end{matrix}\right.

Но, с другой стороны,
\begin{array}{lccccc}\vec{v}&=&v_x\vec{i}+v_y\vec{j}=&&\\[2mm]
&=&v_x(b_{11}\vec{i'}+b_{12}\vec{j'})&+&v_y(b_{21}\vec{i'}+b_{22}\vec{j'})&=\\[2mm]
&=&(b_{11}v_x+b_{21}v_y)\vec{i'}&+&(b_{12}v_x+b_{22}v_y)\vec{j'}&=\\[2mm]
&&&=&v'_x\vec{i'}+v'_y\vec{j'},&\end{array}
и оказывается, что справедлива также и система