В общем, матрица — это просто прямоугольная
таблица чисел с заданным числом строк и столбцов. Она называется квадратной, если количество строк и столбцов
совпадает. Таблицы чисел сами по себе, в быту, возникают очень часто, поэтому
определение это выглядит естественным и простым; но если бы неискушенный
читатель на миг смог осознать всю глубину современного матричного анализа,
он, наверное, удивился бы, почему вокруг матриц такой сыр-бор.Именно поэтому мы, не углубляясь в формальности, определения, теоремы,
начнём рассмотрение матриц с возможных способов их применения, так сказать,
«в быту».Сперва рассмотрим обычную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Системы линейных уравнений возникают в огромном количестве задач в самых
разных областях науки и исследованы очень глубоко, потому не будем тратить
время на примеры задач, в которых они появляются. Давайте лучше для удобства
запишем коэффициенты системы в прямоугольную таблицу , которую мы теперь
гордо можем назвать матрицей коэффициентов системы линейных уравнений:
Теперь мы можем попытаться провести наши преобразования в терминах матриц.
Давайте для этого допишем в конце каждой строчки матрицы коэффициент из
правой части соответствующего уравнения:
Такая матрица называется расширенной
матрицей исходной системы уравнений.Теперь давайте вспомним, как мы решаем системы уравнений. Одна из основных
операций при этом — вычитание одного уравнения, умноженного на какое-то
число, из другого. Эта операция никак не влияет на решение, но зато такими
вычитаниями при желании можно исключить любую из переменных из всех
уравнений, кроме какого-то одного и таким образом, потихоньку исключая
переменные, получить уравнение с одной переменной, которое можно решить.
Теперь остаётся заметить, что в терминах матрицы коэффициентов это будет
означать вычитание одной строки из другой! Значит, мы можем решать системы,
оперируя только матрицами и правыми частями. Вот и первое бесценное
применение матриц.Вот яркий пример того, как можно упростить систему, забыв о переменных:
(Здесь значок означает переход к эквивалентной системе уравнений.)То есть мы сперва прибавили первую строчку к третьей, а затем прибавили
вторую к третьей и в итоге получили систему очень простого вида, в которой
можно сразу найти, чему равны неизвестные:
Такой метод решения систем достаточно универсален и называется методом
Гаусса.
2. Метод Гаусса
Метод Гаусса — классический метод решения
систем линейных уравнений. Также его иногда называют методом исключения
неизвестных. Общая схема метода очень проста:
Находим строку матрицы, в которой первый элемент не равен нулю. Такая
строка точно есть, в противном случае переменная не фигурирует в системе
и система имеет бесконечное число решений.
Меняем найденную строку местами с первой. (Или оставляем всё как есть,
если в первой строке первый коэффициент не равен нулю.)
Вычитаем новую первую строку из всех остальных строк с такими
множителями, чтобы первые коэффициенты всех остальных строк обнулились.
Проделываем всё то же самое со второй строкой и вторыми коэффициентами, и
так далее.
В результате работы такого алгоритма должна получиться так называемая диагональная матрица — матрица, в которой
не равны нулю только элементы главной диагонали, то есть такие, у которых
номер строки равен номеру столбца:
(Мы говорим сейчас только о системах, в которых число уравнений равно
числу неизвестных . Прочие случаи будут рассмотрены отдельно.)Диагональная же матрица соответствует совершенно элементарной системе
уравнений:
Собственно, суть метода и состоит в том, чтобы свести произвольную линейную
систему к достаточно простой для решения.Следующая интерактивная демонстрация поможет получить представление о
решении систем методом Гаусса. Введите матрицу и правую часть или
сгенерируйте случайную и нажмите кнопку «Решить!», чтобы проследить ход
решения системы. (Допускаются целые числа и дроби, например -10/7. Пустые
места в матрицах означают нули, как принято в линейной алгебре. )
3. Умножение матриц
Матрицы оказались полезны нам при решении систем, но это лишь вершина
айсберга.Представьте, например, что при решении системы
мы решили провести линейную замену переменных, вот такую:
где — какие-то константы (не перепутайте их с константами в правой
части, которые обозначены как ), составляющие матрицу . И теперь мы хотим
узнать, какую же систему нам нужно решать относительно новых переменных
. Давайте для этого возьмём какое-либо -е уравнение исходной системы и
подставим в него нашу замену:
Аккуратно раскрыв скобки, получим, что в новой системе уравнений
относительно , которая имеет вид
«новые» коэффициенты будут равны
То есть из двух матриц и мы получили новую матрицу с указанной выше
формулой для коэффициентов. Эта матрица и называется произведением матриц и и обозначается .
Произведением матриц и
называется матрица ,
элементы которой определены равенством
Как видно из формального определения, произведение матриц определено для
не только для квадратных, но и прямоугольных матриц, но с некоторыми
ограничениями:
Правило перемножения матриц легко запомнить фразой «строка на
столбец»: чтобы получить очередной элемент матрицы-произведения, нужно
«умножить» строку первой матрицы на столбец второй (кстати, такое «умножение»
называется скалярным произведением), как схематически изображено
на картинке: брать поочерёдно элементы строки и столбца,
перемножать их и всё это суммировать. Из этого правила и вытекает
единственное ограничение — для перемножения двух матриц необходимо, чтобы
длины строк в первой были равны длинам столбцов во второй. Кстати, для прямоугольных матриц тоже можно проследить аналогию с заменой
переменных в системе уравнений, только теперь в изначальной системе либо не
хватает, либо слишком много уравнений, а после замены число переменных
может измениться.Из этого определения можно извлечь много полезного. Например, если у нас
есть чисел, то мы всегда можем представить их в виде матрицы
размера , то есть так называемого вектор-столбца. И тогда получится,
что если мы запишем неизвестные нашей старой доброй системы уравнений в
вектор-столбец
то произведение матрицы коэффициентов системы и этого вектор-столбца будет
равно
То есть когда мы запишем правую часть в вектор-столбец , то вся наша
система сможет быть записана в виде
Этот замечательный, лаконичный и красивый способ записи систем уравнений
называется операторной формой записи, и у неё огромное количество
преимуществ. Например, в операторной форме записи наша замена переменных
имеет вид , и, подставляя эту формулу в операторное уравнение,
соответствующее исходной системе, мы получим уравнение относительно
вектор-столбца вида
Ну а используя определение матричного умножения, несложно доказать, что
, то есть показать свойство ассоциативности матричного
умножения. И тогда мы сразу получаем результат, который выводили вручную в
начале этого пункта — что система относительно имеет вид
«Попробуйте на ощупь» перемножение матриц, воспользовавшись нашим
мини-калькулятором. (Допускаются целые числа и дроби, например -12/5. Пустые
места в матрицах означают нули, как принято в линейной алгебре. )
4. Другие операции с матрицами
В дальнейшем нам понадобятся некоторые простейшие операции с матрицами, о
которых здесь будет вкратце рассказано.Умножение матрицы на число —
элементарная операция, заключающаяся в умножении каждого элемента матрицы
на это самое число: