Матрицы
1. Определение и первое применение
ПустьВ общем, матрица — это просто прямоугольная таблица чисел с заданным числом строк и столбцов. Она называется квадратной, если количество строк и столбцов совпадает. Таблицы чисел сами по себе, в быту, возникают очень часто, поэтому определение это выглядит естественным и простым; но если бы неискушенный читатель на миг смог осознать всю глубину современного матричного анализа, он, наверное, удивился бы, почему вокруг матриц такой сыр-бор.Именно поэтому мы, не углубляясь в формальности, определения, теоремы, начнём рассмотрение матриц с возможных способов их применения, так сказать, «в быту».Сперва рассмотрим обычную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матрицей размера
называется совокупность
чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из
строк и
столбцов. — Г. Д. Ким, Л. В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том I; глава I, страница 9.
Системы линейных уравнений возникают в огромном количестве задач в самых разных областях науки и исследованы очень глубоко, потому не будем тратить время на примеры задач, в которых они появляются. Давайте лучше для удобства запишем коэффициенты системы в прямоугольную таблицу![]()
Теперь мы можем попытаться провести наши преобразования в терминах матриц. Давайте для этого допишем в конце каждой строчки матрицы коэффициент из правой части соответствующего уравнения:![]()
Такая матрица называется расширенной матрицей исходной системы уравнений.Теперь давайте вспомним, как мы решаем системы уравнений. Одна из основных операций при этом — вычитание одного уравнения, умноженного на какое-то число, из другого. Эта операция никак не влияет на решение, но зато такими вычитаниями при желании можно исключить любую из переменных из всех уравнений, кроме какого-то одного и таким образом, потихоньку исключая переменные, получить уравнение с одной переменной, которое можно решить. Теперь остаётся заметить, что в терминах матрицы коэффициентов это будет означать вычитание одной строки из другой! Значит, мы можем решать системы, оперируя только матрицами и правыми частями. Вот и первое бесценное применение матриц.Вот яркий пример того, как можно упростить систему, забыв о переменных:![]()
(Здесь значок![]()
Такой метод решения систем достаточно универсален и называется методом Гаусса.![]()
2. Метод Гаусса
Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных уравнений. Также его иногда называют методом исключения неизвестных. Общая схема метода очень проста:- Находим строку матрицы, в которой первый элемент не равен нулю. Такая
строка точно есть, в противном случае переменная
не фигурирует в системе и система имеет бесконечное число решений.
- Меняем найденную строку местами с первой. (Или оставляем всё как есть, если в первой строке первый коэффициент не равен нулю.)
- Вычитаем новую первую строку из всех остальных строк с такими множителями, чтобы первые коэффициенты всех остальных строк обнулились.
- Проделываем всё то же самое со второй строкой и вторыми коэффициентами, и так далее.
(Мы говорим сейчас только о системах, в которых число уравнений![]()
Собственно, суть метода и состоит в том, чтобы свести произвольную линейную систему к достаточно простой для решения.Следующая интерактивная демонстрация поможет получить представление о решении систем методом Гаусса. Введите матрицу и правую часть или сгенерируйте случайную и нажмите кнопку «Решить!», чтобы проследить ход решения системы. (Допускаются целые числа и дроби, например -10/7. Пустые места в матрицах означают нули, как принято в линейной алгебре. )![]()
3. Умножение матриц
Матрицы оказались полезны нам при решении систем, но это лишь вершина айсберга.Представьте, например, что при решении системымы решили провести линейную замену переменных, вот такую:![]()
где![]()
Аккуратно раскрыв скобки, получим, что в новой системе уравнений относительно![]()
«новые» коэффициенты![]()
То есть из двух матриц![]()
Произведением матрицКак видно из формального определения, произведение матриц определено для не только для квадратных, но и прямоугольных матриц, но с некоторыми ограничениями:и
называется матрица
, элементы которой определены равенством
— Г. Д. Ким, Л. В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том I; глава I, §1, страница 10.![]()
Правило перемножения матриц легко запомнить фразой «строка на столбец»: чтобы получить очередной элемент матрицы-произведения, нужно «умножить» строку первой матрицы на столбец второй (кстати, такое «умножение» называется скалярным произведением), как схематически изображено на картинке: брать поочерёдно элементы строки и столбца, перемножать их и всё это суммировать. Из этого правила и вытекает единственное ограничение — для перемножения двух матриц необходимо, чтобы длины строк в первой были равны длинам столбцов во второй. Кстати, для прямоугольных матриц тоже можно проследить аналогию с заменой переменных в системе уравнений, только теперь в изначальной системе либо не хватает, либо слишком много уравнений, а после замены число переменных может измениться.Из этого определения можно извлечь много полезного. Например, если у нас есть
то произведение матрицы коэффициентов системы и этого вектор-столбца будет равно![]()
То есть когда мы запишем правую часть в вектор-столбец![]()
Этот замечательный, лаконичный и красивый способ записи систем уравнений называется операторной формой записи, и у неё огромное количество преимуществ. Например, в операторной форме записи наша замена переменных имеет вид![]()
Ну а используя определение матричного умножения, несложно доказать, что![]()
«Попробуйте на ощупь» перемножение матриц, воспользовавшись нашим мини-калькулятором. (Допускаются целые числа и дроби, например -12/5. Пустые места в матрицах означают нули, как принято в линейной алгебре. )![]()
4. Другие операции с матрицами
В дальнейшем нам понадобятся некоторые простейшие операции с матрицами, о которых здесь будет вкратце рассказано.Умножение матрицы на число — элементарная операция, заключающаяся в умножении каждого элемента матрицы на это самое число:Сложение матриц — тоже элементарная операция. Складывать можно только матрицы одинакового размера, и результатом сложения будет матрица, элементы которой являются суммами соответствующих элементов первого и второго слагаемого:![]()
После введения операции сложения матриц легко представить себе и разность матриц.Транспонирование матрицы — несколько менее тривиальная операция. Матрицей, транспонированной к матрице![]()
То есть мы как бы переворачиваем матрицу вокруг её главной диагонали, тем самым меняя у элементов строчный и столбцовый индексы местами:![]()
При этом если мы применим эту операцию два раза, то непременно получим исходную матрицу:![]()
Сразу обратим внимание (на будущее), что в силу определения операции транспонирования всегда существуют произведения![]()
- Коммутативность сложения:
.
- Ассоциативность сложения:
.
- Ассоциативность при умножении на числа:
. (Здесь и далее
и
— любые вещественные числа.)
- Дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц:
.
- Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел:
.
- Некоммутативность умножения: не для любых матриц
и
справедливо равенство
. (Даже если они квадратные и их можно перемножать в любом порядке.)
- Ассоциативность умножения:
. (Здесь и далее
,
и
— любые матрицы, которые можно перемножить в указанном порядке.)
- Ассоциативность перемножений матриц и чисел:
.
- Дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:
и
.
- Аддитивность транспонирования:
.
- Однородность транспонирования:
.
- Транспонирование произведения:
.
- Двойное транспонирование:
.
5. Треугольные матрицы
В матричном анализе важное место занимают так называемые матрицы специального вида. Как несложно догадаться, это матрицы, элементы которых имеют какой-либо специальный вид, например, заданы фиксированной формулой с параметрами или связаны между собой каким-нибудь соотношением (например, матрица, в которой выполнено соотношениеВ верхнетреугольной матрице выполнено соотношение![]()
(5.1)
имеет бесконечное количество решений. В этом несложно убедиться: подставьте вместо![]()
не имеет решений вообще. (Попробуйте, найдите хоть одно!)Есть простое правило: если уравнений в системе меньше, чем неизвестных, то система всегда имеет бесконечное число решений. Если же уравнений больше, чем неизвестных, то такого простого правила уже нет — тут всё будет зависеть от самих уравнений и правой части. Но и если число неизвестных в точности равно числу уравнений, то нельзя сразу сказать, будет ли существовать решение и будет ли оно единственно.Так что вопрос это непростой, а в его важности сомневаться не приходится. К счастью, на сегодняшний день он решён полностью, и далее мы будем постепенно идти к его решению.Начнём же мы наш путь с самого простого случая — системы с квадратной треугольной матрицей коэффициентов.Как видно из формул выше, единственная проблема, которая может возникнуть при решении системы с треугольной матрицей — это деление на ноль. То есть мы можем решить систему уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, если все элементы на её главной диагонали не равны нулю. Действительно, в этом случае мы можем просто вычислить решение, воспользовавшись этой формулой. Притом видно, что оно единственно — потому что путей получить другое решение просто нет. Если же где-то на главной диагонали затаился ноль, то это значит, что на очередном шаге мы просто не сможем определить значение очередной переменной, и всё пойдёт крахом. Таким образом, можно сформулировать критерий разрешимости системы уравнений с треугольной матрицей коэффициентов: такая система разрешима (то есть у неё есть решение, и притом единственное, для любой правой части) тогда и только тогда, когда ни один из элементов на главной диагонали соответствующей треугольной матрицы не равен нулю.![]()
6. Обратная матрица
Вернёмся к нашей системе линейных уравнений с произвольной квадратной матрицей коэффициентов:Давайте теперь представим, что у нас есть одна матрица коэффициентов и много разных правых частей, с которыми нужно решить систему. Притом мы сразу отметаем вариант с обычным методом Гаусса — он достаточно трудоёмок (требует порядка![]()
в которых все элементы равны нулю, кроме одной единицы, стоящей в![]()
Если теперь записать векторы![]()
И это великолепно!Что же мы получили? Что если мы решим систему с![]()
МатрицаВ этом определении фигурирует до сих пор не введённая нами единичная матрицаназывается обратной к матрице
, если
— Г. Д. Ким, Л. В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том I; глава II, §9, страница 87.![]()
— квадратная диагональная матрица с единицами на главной диагонали. В указанной в определении формуле подразумевается, что матрица![]()